Algèbre linéaire Exemples

$2 x + y = - 2$ , $x + 2 y = 2$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & - 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{- 2}{2} \\ 1 & 2 & 2 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - 1 \\ 1 - 1 & 2 - \frac{1}{2} & 2 + 1 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - 1 \\ 0 & \frac{3}{2} & 3 \end{array}]$

Étape 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - 1 \\ \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} & \frac{2}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - 1 - \frac{1}{2} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = - 2$

$y = 2$

Étape 4

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(- 2, 2)$

Étape 5

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \end{array}]$